Chima dos Fluidos: As leis básicas do Sistema

A formulação que nos interessa das Equações de Conservação (Massa, Quantidade de Movimento, Linear e Angular, e da Energia - 1^a Lei da Termodinâmica), neste curso introdutório, é a unidimensional, o que resulta na formulação integral de cada uma delas. Ademais, as Equações de Conservação serão aplicadas a um volume de controle fixo com relação a um referencial inercial, com a característica adicional de ser um volume de controle não-deformável (os ciclos frigoríficos, compressores, as bombas, ventiladores, e os sistemas de bombeamento e ventilação são conjuntos de máquinas e dispositivos construídos, na maioria dos casos, com materiais rígidos; ademais, são instalados em locais fixos, e por isso estas simplificações se justificam). A grande maioria das aplicações está associada a escoamentos permanentes do fluido de trabalho, isto é, que não variam com o tempo, com o compressor, o ventilador e a bomba e os respectivos sistemas funcionando em regime estável, sem oscilações temporais significativas das características operacionais.

A formulação unidimensional representa uma simplificação do fenômeno real. É a que se aplica no cálculo de sistemas de compressão, bombeamento e ventilação, onde se deseja calcular grandezas ditas "macro": o fluxo de massa no sistema, o fluxo de calor, o trabalho aplicado ou realizado, um certo gradiente de pressão, a distribuição de fluxo entre as ramificações de um sistema complexo, a energia específica dissipada (ou perdas de carga) em dispositivos específicos de um sistema, a variação total de energia entre os limites do sistema, etc. Mas conduz também a bons resultados quando aplicada à análise dos ciclos e ao projeto de bombas e ventiladores, mesmo que o escoamento, nestes casos seja claramente tridimensional. Somente equipamentos de grande porte, e críticos do ponto de vista operacional e de consumo ou geração de energia, são projetados utilizando-se formulações bi ou tri-dimensionais do escoamento. Um exemplo típico são as turbinas hidráulicas: têm projeto individualizado, e as técnicas modernas utilizam modelos matemáticos sofisticados do escoamento (3D) e métodos numéricos para a solução do sistema de equações diferenciais resultantes.

Entretanto, nem todos os volumes de controle serão como os que utilizaremos nesse curso. Em vários dispositivos com os quais a engenharia mecânica lida, o volume de controle é deformável; em outros casos, é conveniente especificar, para facilitar a análise, um volume de controle não-inercial. Para mostrar que várias formas de resolver um mesmo fenômeno ou processo na engenharia depende da aplicação correta das Equações de Conservação a volumes de controle arbitrados pelo analista, após a apresentação das Equações de Conservação e das demais Leis da Termodinâmica, discutiremos a análise de um processo com a Lei da Conservação da Massa utilizando múltiplos volumes de controle e diferentes formulações da Equação citada. É material de aula do Prof. Sonin, do MIT.

Equação de Conservação da Massa

“A taxa de variação temporal da massa no interior do volume de controle é igual ao fluxo líquido de massa através da superfície de controle”.

onde r é a densidade do fluido, t é o tempo,

é o volume infinitesimal,

é a velocidade absoluta do fluido,

é o vetor unitário normal ao elemento de área dA.

Se o escoamento é permanente e unidimensional nas entradas e saídas do V.C., a Eq. de Conservação da massa simplifica-se para

onde s e e representam, respectivamente, as regiões de saída e entrada do fluido através da superfície de controle.

Ou ainda, se o escoamento é incompressível e unidimensional,

Equação de Conservação da Quantidade de Movimento Linear

“A força resultante sobre o volume de controle é igual à taxa de variação temporal da quantidade de movimento no interior do volume de controle mais o fluxo líquido de quantidade de movimento através da superfície de controle”.

Hip.: V.C. inercial (isto é, um VC fixo ou se deslocando com velocidade constante em relação a sistema inercial de coordenadas).