Tubos em U

Começamos com dois tubos em forma de U, de secção uniforme S, que é cheio com água, o tubo esquerdo até uma altura h₁e o tubo direito até uma altura h₂, tal como é mostrado na figura.

 

A seguir, conectamos ao extremo direito do tubo esquerdo, e o extremo esquerdo do tubo direito, com outro tubo de mesma secção. Temos uma coluna de ar a pressão atmosférica P_a (em cor amarela) encerrada entre as superfícies livres de alturas h₁e h₂ dos dois ramas mais próximos dos tubos em forma de U.

O comprimento da coluna de ar é L_a=H-h₁-h₂+d. Sendo H a altura dos tubos em U, e d a separação entre os mesmos, tal como é mostrado na figura

Adicionamos um volume V=S·x de água no ramo esquerdo do primeiro tubo, e observamos os níveis da água nos ramos dos dois tubos, o volume e a pressão da coluna.

Resolução do sistema de equações

Os dados do problema são:

As alturas iniciais do líquido nos dois ramos do tubo em U são

• a esquerda h₁.
• a direita h₂.
• Comprimento inicial da coluna de ar L_a
• Pressão inicial do ar na coluna P_a=1.013·10⁵ Pa
• Volume de líquido S·x que é adicionado ao ramo esquerdo do primeiro tubo em U.

As incógnitas são as alturas do líquido em cada ramo dos dois tubos em forma de U

• esquerda do primeiro tubo, h_1i
• direita do primeiro tubo, h_1d
• esquerda do segundo tubo, h_2i
• direita do segundo tubo, h_2d
• Comprimento final da coluna L_f
• Pressão final da coluna P_f

Para resolver o problema, temos que resolver um sistema de 6 equações com 6 incógnitas.

1. Se considerarmos a água como fluido incompressível, teremos que

• O comprimento final do líquido no segundo tubo em U não mudará

 h_2i+h_2d=2h₂    (1)

• Ao primeiro tubo acrescentamos um comprimento x de água, e pela mesma razão se cumprirá que

h_1i+h_1d=2h₁+x   (2)

2. Ao estar o fluido em equilíbrio, coincidirão as pressões na origem pelo ramo esquerda do primeiro tubo devidas a atmósfera P_a e a coluna de líquido de altura h_1i e pelo ramo direito devidas a pressão P_f da coluna de ar e a altura da coluna de líquido h_1d. Se ρ é a densidade da água, e g a aceleração da gravidade a equação fundamental da estática de fluidos é escrita:

P_a+ρgh_1i=P_f+ ρgh_1d       (3)

Coincidirão também as pressões na origem pelo ramo direito do segundo tubo devidas a atmósfera P_a e a coluna de líquido de altura h_2d e pelo ramo esquerdo devidas a pressão P_f da coluna de ar e a altura da coluna de líquido h_2i

P_a+ρgh_2d=P_f+ ρgh_2i       (4)

3. A coluna de ar tem uma pressão inicial P_a e um volume inicial S·L_a, uma pressão final P_f e um volume final S·L_f. Supondo uma transformação isotérmica entre os dois estados, temos

P_a·L_a=P_f·L_f                  (5)

4. Finalmente, uma consideração geométrica. O comprimento combinada da água e da coluna de ar na secção central dos dois tubos em forma de U permanece constante.

h₁+h₂+L_a=h_1d+h_2i+L_f.          (6)

Solução do sistema de equações

Para resolver o sistema de seis equações com seis incógnitas, são combinadas as equações do seguinte modo.

Somamos as equações (3) e (4)

2P_a+ρg(h_1i+h_2d)=2P_f+ ρg(h_1d + h_2i)      (7)

Explicitamos P_f na equação (5) e substituimos na (7)

      (8)

Somamos as equações (1), (2) e (6)

h_2i+h_2d+h_1i+h_1d + h₁+h₂+L_a =2h₂+2h₁+x+ h_1d+h_2i+L_f.     

h_1i+h_2d=h₂+h₁+x+L_f-L_a     (9)

Na equação (6) explicitamos  h_1d+h_2i

 h_1d+h_2i= h₁+h₂+L_a-L_f       (10)

Substituímos (9) e (10) em (8) e escrevemos P_a=ρgL₀. L₀ é a altura da coluna de água, cuja pressão na base equivale a pressão atmosférica. Tomando água como líquido manométrico em vez de mercúrio na experiência de Torricelli.

Nos resta a seguinte equação de segundo grau em L_f.

Cuja solução é

   (11)

Conhecida L_f calculamos P_f na equação (5)

Na equação (3) explicitamos h_1i- h_1d  que com a equação (2) forma um sistema de duas equações com duas incógnitas.

h_1i+h_1d=2h₁+x   (2)

Somando e subtraindo membro a membro ambas as equações despejamos h_1i y h_1d

                 (12)

Na equação (4) explicitamos h_2d- h_2i que com a equação (1) forma um sistema de duas equações com duas incógnitas.

h_2i+h_2d=2h₂    (1)

Somando e subtraindo membro a membro ambas equações explicitamos h_2d y h_2i 

                 (13)

Exemplo:

Dados

• Altura dos tubos H=1.0 m.
• Separação d=0.2 m
• Densidade da água ρ=1000 kg/m3
• Pressão atmosférica P_a=1.013·10⁵ Pa. Por que L₀=10.34 m, altura da coluna de água cuja pressão na base equivale a pressão atmosférica.
• Aceleração da gravidade g=9.8 m/s²

Com o ponteiro do mouse arrastamos as flechas até fazer com que a altura inicial da água em ambos os ramos:

• do primeiro tubo seja h₁=0.25 m
• do segundo tubo seja h₂=0.45 m

Com estes dados determinamos o comprimento inicial da coluna de ar L_a= H-h₁-h₂+d=1.5 m.

Suponhamos que acrescentamos um volume de água ao ramo esquerdo do primeiro tubo, que equivale a uma altura x=0.88 m. Calculamos as incógnitas

Da expressão (11) calculamos o comprimento final da coluna de ar

Da equação da transformação isotermica  (5) calculamos a pressão final P_f

1.013·10⁵·1.5=P_f·1.45      P_f=1.05·10⁵ Pa.

O incremento de pressão foi de ΔP=P_f-P_a=3783 Pa

As fórmulas (12) nos dão os valores das alturas finais de água em ambos ramos do primeiro tubo h_1i e h_1d

As fórmulas (13) nos dão os valores das alturas finais de água em ambos os ramos do segundo tubo h_2i e h_2d

Fonte: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/fluidos/estatica/tubos_u/tubos_u.htm